Matemáticas alrededor de una exposición de matemáticas

logoUna interesante exposición sobre las matemáticas (y otras cosas como la cocina) nos permite encontrar algunas trazas de las matemáticas al final del camino.

Imaginary ha llegado por fin a Santiago de Compostela. Instalada en la antigua Iglesia de la  Universidad o de la Compañía como todavía se conoce en Compostela, la muestra compostelana ha permanecido abierta del 18 de marzo al 16 de mayo de 2013. Ha compartido espacio con la exposición fotográfica El sabor de las matemáticas que ha suscitado tanto interés en los profesionales de las matemáticas como en los profanos. Comisariada por la matemática Mercedes Siles con ocasión de la exposición Imaginary-Málaga, el matemático Pedro Reyes se ha ocupado de fotografíar una docena de platos creados por el chef José Carlos García del Restaurante Café de París de Málaga inspirándose en algunas de las superficies exhibidas en Imaginary. Geometría y cocina reunidas en un sabrosa muestra.
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Cuando estaba proponiéndoles un juego a mi hijo y a un amigo, casi por casualidad, me he dado cuenta de que el  rastro de las matemáticas se multiplica alrededor de la exposición, tanto en la ciudad barroca como el propio interior de la iglesia, presidida por el círculo radiante que rodea el emblema dos xesuítas proyectándose al infinito.
Compañia
En las capillas laterales, columnas salomónicas adornadas con racimos y hojas de vid, como suele ser habitual en el barroco gallego, enmarcan los retablos. Varios decenios antes de que los jesuitas se instalasen en Santiago y siglo y medio antes de que emprendiesen la renovación de la antigua iglesia medieval, el pintor, grabador y matemático Albrecht Dürer (Durero) describía en su libro Underweysung der messung un curioso método para construir este tipo de columnas.

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A continuación me propongo enseñar cómo hacer otra columna redonda, que será torsa o curvada de manera especial. […] Toma nueve veces en altura el grosor da columna […]. Primero dispón la planta con la que le darás la forma en espiral. Cuando hayas dibujado su alzado, traza una línea vertical por el centro que una a abajo y b arriba. Esta línea ab debe torcerse a modo de espiral. Hazlo a partir de la planta de la siguiente manera. Traza alrededor de un centro a un círculo del grosor de la columna. Dibuja en este círculo una línea vertical que lo atraviese de un extremo a otro pasando por el centro a. La mitad superior de esta línea, comprendida entre la circunferencia y el centro a, divídela en dos partes por el punto c. A continuación, coloca en esta línea vertical, por debajo del centro a, otro centro d y traza alrededor un círculo que pase por arriba por el punto c y por abajo por el punto de intersección de la vertical y la circunferencia grande. Divide la recta ac en dos partes en un punto e y traza alrededor de e una circunferencia que pase por c y a. Una vez hecho esto, gradúa los tres círculos numerando los puntos de 1 a 60. Numera 1, 2, 3, 4, 5, etc., comenzando por el punto del interior que está más cerca de a. En el círculo más pequeño numera de uno a seis, haciendo coincidir este número con el punto c. Continúa después a lo largo del círculo mediano numerando 7, 8, 9, etc., hasta el dieciocho, que corresponde a la mitad de la circunferencia. A partir del diecinueve continúa contando en el círculo grande hasta llegar al cuarenta y dos, por encima del dieciocho, en la línea vertical cead. Sigue con el cuarenta y tres en el círculo mediano hasta que llegues al punto c con el número cincuenta y cuatro. Vuelve con el número cincuenta y cinco al círculo pequeño hasta llegar al sesenta en el punto a. […] Con la ayuda de estos puntos numerados de la planta se retorcerá el mástil o eje de la columna vertical. Cuando la planta esté lista, divide la columna en altura en sesenta partes numeradas, pero de la siguiente manera particular. Prolonga en horizontal la línea situada en la base de la columna […] hasta alcanzar una longitud dos veces mayor que su  grosor. […]. Llama f al extremo y traza una línea oblicua hasta el extremo superior de la columna […]. Dibuja un arco de circunferencia hacia arriba y llama g al punto en el que corta a la línea oblicua que une f con la parte superior de la columna. A continuación divide este arco en sesenta partes iguales y numéralas. Dibuja líneas desde el punto f  hasta la columna pasando por todos los grados del arco circular. Traza rectas horizontales desde los puntos así obtenidos en la columna y desígnalas con los números de la planta. […]. Verás como las divisiones del fuste de la columna se hacen más grandes hacia arriba. Vuelve a dibujar por segunda vez una línea ab en el eje de la columna con todas las horizontales y los números y coge un compás. Ve a la planta circular que servirá para retorcer el eje desplazando los puntos. Pon siempre uno de los brazos en la recta que divide los círculos por la mitad y toma con el otro brazo las distancias horizontales a los puntos numerados, cualquiera que sea su orden, llevándolas al eje ab de la columna. Sitúa un brazo en la horizontal marcada con el número que se corresponda con el de la planta. Con el otro brazo, marca en la misma horizontal el lugar en el que deberá situarse el punto desplazado del eje torcido. […] Verás aparecer punteado el eje de la columna en espiral de un lado y otro del eje vertical. […] Coge entonces un compás y traslada el grosor de la primera columna de eje recto a cada una de las horizontales del eje curvo […] trazando circunferencias con las que obtendrás el grosor de la columna. […] Aunque la columna circular se curva, hay que seguir imaginando esferas centradas en los puntos del eje, que pueden dividirse en dos mitades a lo largo de secciones como antes […]. Considera e imagina luego que cada punto del eje retorcido de la columna es el centro de una esfera, y dibuja alrededor un círculo de diámetro igual al grosor de la columna recta en el mismo lugar. Haz eso con todos los puntos de la columna en espiral y obtendrás el grosor de la columna con toda su curvatura. Después de eso, une todas las circunferencias mediante un trazo continuo y verás la forma de la columna [1].

Como podemos ver, Durero comienza construyendo una curva plana que consiste en recorrer de una manera particular tres circunferencias tangentes con diámetros de proporciones 3/4 e 1/4 respecto de la mayor.
A continuación levanta esta curva plana en una curva alabeada sustituyendo la tercera coordenada del punto de etiqueta n por

2 b tan (n arctan(9/2)/60)

donde b es el diámetro de la base de la columna y el ángulo 77,47º aproxima por defecto a arctan(9/2). La proporción de 9 a 1 entre la altura de la columna y el diámetro de la base tiene que ver con el canon de los órdenes arquitectónicos clásicos [2]. Durero ilustra su método de elevación de la curva plana en la siguiente figura [3] (acompañada de una pequeña animación):

Para terminar, Durero dibuja una esfera de diámetro b alrededor de cada punto de la curva alabeada como puede verse en la siguiente figura:

Casi tres siglos después, en las notas distribuidas [4] a los estudiantes del curso de análisis aplicado a la geometría durante el año III en la École centrale de travaux publiques [5], Gaspard Monge se interesa por cierto tipo de superficies:

Si consideramos una curva trazada en el plano horizontal y pensamos en una esfera de radio constante moviéndose de manera que su centro recorra la curva, quedará un espacio rodeado por una cierta superficie curva. Planteado esto, encontrar, 1º la ecuación general de todas las superficies curvas generadas de esta manera, cualquiera que sea la curva plana que les sirve de eje; 2º las ecuaciones de la curva característica de estas superficies; 3º la de su arista de retroceso. 1º Como la superficie que consideramos es la envolvente de una sucesión de esferas del mismo radio, está claro que su plano tangente coincide con el plano tangente de la esfera tangente en el mismo punto. […] De otra manera. Está claro que todas las normales de la envolvente cortan a la curva que les sirve de eje y que las porciones comprendidas entre la superficie y el plano horizontal son iguales al radio de las esferas […]

2º En este caso, la característica de la superficie, es decir, la curva de contacto de esta superficie con cada una de las esferas, es claramente la línea con la mayor pendiente de la superficie, o lo que es lo mismo, de todas las curvas contenidas en la superficie que pasan por un mismo punto, aquella en que la tangente forma mayor ángulo con el plano horizontal en ese punto.


3º Como la arista de retroceso de la superficie toca en cada punto una de sus características, las dos curvas tienen en ese punto una tangente común. Luego el ángulo que forma la tangente de la arista de retroceso con el plano horizontal en un punto de contacto tomado a una cierta altura es el mismo que forma la tangente de la característica en un punto de contacto tomado a la misma altura [6].

Monge las llama «superficies de canales», un nombre que hoy se aplica a las envolventes de una familia de esferas con centros en una curva alabeada. Además de los helicoides circulares y las columnas salomónicas de Durero (donde el radio de las esferas es constante), la noción actual incluye las superficies de revolución y las cíclides de Dupin no parabólicas. En la siguiente figura, puede verse otra columna de Durero donde la proporción entre el diámetro da base y la altura es igual a 1/4√3.

Tradución del billete «Mathématiques autour d’une exposition de  mathématiques»
en el sitio Images des Mathématiques

[1] Albrecht Dürer, Géométrie. Présent., trad. de l’allemand et notes par Jeanne Peiffer. Seuil, Paris, 1995. Edición española de Jeanne Peiffer: Albrecht Dürer, De la medida. Traducción del texto original alemán de Jesús Espiño Nuño, traducción del prólogo, estudio introductorio, notas, anexos, glosario, bibliografía e índices de Juan Calatrava Escobar y revisión científico-matemática de Ana López Jiménez. Akal, Madrid, 2000.

Segredo [2] En realidad, habría que hablar de canones tanto en lo referente a la estatura de las personas como a los diferentes órdenes arquitéctonicos.   A la diversidad de canones clásicos, reconocida por el propio Vitruvio (Marcus Vitruvius Pollio, siglo I a.C.) en su famoso tratado De architectura, hay que añadirle la persistencia del canon medieval, llamado «de Varron» (por Marcus Terentius Varro, contemporáneo de Vitruvio), presente en el trabajo de Dürer por influencia de la obra De sculptura (1504) de Pomponius Gauricus, véase la edición anotada y traducida por André Chastel y Robert Klein, Libraire Droz, Genève, 1969. La misma proporción 1/9 se encuentra también en el tratado Medidas del Romano (1526) del español Diego de Segredo, muy influenciado por Dürer. La imagen pertenece a una traducción francesa de 1550 conservada en el INHA.

[3] Origen Gallica.

[4] Completadas con el título de Applications de l’Analyse à la géométrie en 1807. Véase la introducción L’invention d’une langue des figures de Bruno Belhoste e René Taton a las Leçons de Monge en el volumen L’École normale de l’an III. Leçons de mathématiques, Jean Dhombres (dir.), Éditions Rue d’Ulm, 1992.

[5] Creada el 7 vendimiario del año III (28 de septiembre de 1794) y rebautizada «École Polytechnique» a partir del 15 fructidor del año III (1 de septiembre de 1795)

[6] Gaspard Monge, Application de l’Analyse à la geómétrie. Cinquième édition, revue, corrigée et annotée par M. Liouville. Bachelier Imprimeur, Paris, 1850. Origen Internet Archive.

 


 

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