Bonaval

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La escalera construida por Domingo de Andrade en Bonaval a finales del siglo XVII es una triple escalera helicoidal, volada, de espíritu palladiano. En esa misma época, emulando a Arquímedes, Jacob Bernoulli pide que dibujen una espiral en su tumba a modo de epitafio. 

Eadem numero mutata resurget 

Cada ciudad tiene un lugar mágico. Aquí, al final del camino, ese lugar mágico se llama Bonaval. La antigua iglesia, el viejo monasterio de Santo Domingo de Bonaval [1], junto a la Puerta del Camino, el jardín de Álvaro Siza que lo rodea, todo está de lleno de magia. En una esquina del claustro, escondida a la vista, se oculta un pequeña joya: la antigua escalera abacial construida por Domingo de Andrade (1639-1712) a finales del siglo XVII [2]. Es una triple escalera helicoidal, volada, de espíritu palladiano [3]. Cada peldaño se halla empotrado en el muro sin otra sujeción que un mínimo apoyo en el peldaño inferior a través de una zanca que describe una hélice circular en torno a un vano de amplias dimensiones. La levedad de la construcción parece querer ilustrar las propiedades de la forma matemática que adopta cada caracol: un helicoide recto.

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Recordemos que un helicoide recto admite la siguiente parametrización cartesiana:
x = u cos v
y = u sen v
z = b v
de manera que la curva que se obtiene al fijar cada valor de u es una hélice circular contenida en el cilindro de radio u y cuyo paso vale 2πb [4].  Cada hélice forma un ángulo constante, igual a arctan(b/u), con cualquier plano horizontal, lo que la caracteriza entre todas las curvas contenidas en el cilindro [5].

En una escalera helicoidal, si llamamos n al número de escalones de cada vuelta completa, ω a la amplitud de cada peldaño (es decir, al ángulo que forma, medido en radianes) y h a su altura, entonces el paso completo de la escalera está dado por
2πb = nh = nωb.
Se llama paso reducido al cociente b = h/ω. En la escalera de Andrade, con n=44 y h=20 cm, el ángulo ω=2π/44 ~ 8,18º y el paso reducido b = 140. La pendiente de la hélice que dibuja cada tramo a lo largo del muro exterior es igual al cociente entre el paso b=140 y el radio de la escalera R=280cm, similar al cociente de la altura h=20cm por el ancho máximo de cada peldaño, igual a 40cm. Esto significa que forma un ángulo de algo menos de 27º con cada plano horizontal. Por su parte, la pendiente de la zanca (en su parte interior que limita el hueco central) es igual al cociente entre el paso b=140 y el radio del hueco r=113cm, lo que da un ángulo aproximado de algo más de 51º. Si desarrollamos el cilindro de radio r ≤ u ≤ R, veremos con claridad que la pendiente de la escalera a esa distancia u del eje central es igual a b/u y su equivalente trigonométrico a arctan(b/u).

desarrollo

Figura 1

Nuestro helicoide está formado –foliado decimos en la terminología matemática– por hélices circulares cuyos ángulos con cualquier plano horizontal son constantes y varían entre esos dos valores aproximados de 27º y 51º. En la parte inicial, cada tramo de la escalera es una copia del anterior obtenido por simple rotación de ángulo 120º, distribuyéndose la altura de paso de cada tramo de manera uniforme a lo largo del paso completo. En la parte final, Andrade juega con la perspectiva y el contraste de materiales haciendo que cada tramo se detenga a una altura diferente.

Pero, ¿qué es lo que realmente vemos en la imagen? Supongamos que hubiese sido tomada con una cámara oscura (en lugar de la cámara compacta con la que ha sido tomada en realidad), lo que nos ahorrará preocuparnos de las leyes de la óptica geométrica y de las posibles aberraciones. Desde un punto de vista matemático, la imagen proporcionada por esta cámara oscura ideal estaría dada por la proyección estereográfica desde el punto (0,0,ε) del semiespacio E formado por los puntos de coordenadas (x,y,z) con z > ε sobre el plano horizontal de ecuación z=0 para algún ε > 0 [6]. Un simple applet permite visualizar esta idea: moviendo los puntos P y Q es posible apreciar cómo varían sus imágenes p y q.

La proyección π nos proporciona un mapa completo de cada semicilindro de radio u que ocupa todo el plano z=0 privado del origen [7]. La imagen de la circunferencia de radio u situada a una altura z es la circunferencia de radio εu/(z-ε). Observemos que el radio εu/(z-ε) tiende a 0 cuando la altura z tiende a infinito, mientras que el radio εu/(z-ε) tiende a infinito cuando la altura z tiende a ε. Por su parte, las semirrectas verticales se convierten en semirrectas radiales que convergen en el origen. Pero, ¿qué imagen nos devuelve la cámara oscura de cada una de las hélices que forman nuestro helicoide (determinada por un ángulo arctan(b/u) con r ≤ u ≤ R)?

Espiral-Bonaval

Si nos fijamos en la imagen inicial, podemos apreciar que la imagen de cada zanca (que vendría determinada por la ecuación u = r) se parece a una curva bien conocida [8]. Su nombre espiral logarítmica según Varignon, estudiada por Descartes y Torricelli a mediados del siglo XVII. Es la spira mirabilis que deslumbrará a Jacob Bernoulli poco antes de la construcción de nuestra escalera [9].

Una espiral logarítmica puede describirse mediante la ecuación ρ = u eδθ en coordenadas polares  o las ecuaciones
x = u eδθ cos θ
y = u eδθ sen θ
usando coordenadas cartesianas [10].

espiral aurea

Figura 2

Como la hélice, la espiral logarítmica forma un ángulo constante a con cualquier semirrecta radial. La condición tan α = 1/δ nos dice que:
α = arctan (1/δ) = arccot δ.
Se llama grado de la espiral al ángulo β = π/2 – α = arctan (δ) que forma con cualquier circunferencia centrada en el origen. Si rotamos una espiral logarítmica un ángulo θ´, el resultado coincide con el que se obtiene al dilatar o contraer la espiral multiplicando por un factor e-δθ´. En matemáticas, esta transformación se llama homotecia. Luego, si tomamos θ´ igual a un múltiplo entero de 2π,  la espiral permanece invariante al aplicarle la homotecia de razón e-δθ´.
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Eadem numero mutata resurget dirá Bernoulli para describir esta propiedad característica de la espiral logarítmica.

Cum autem ob propietatem tam singularem tamque admirabilem mire mihi placeat Spira haec mirabilis, sic ut ejus contemplatione satiari vix queam; cogitavi, illam ad varias res symbolice repraesentandas non inconcinne adhiberi posse. Quoniam enim semper sibi similem et eandem Spiram gignit, utcunque volvatur, evolvatur, radiet; hinc poterit esse vel sobolis parentibus per omnia similis Emblema; Simillima Filia Matri. Vel, [si rem aeternae Veritatis Fidei mysteriis accommodare non est prohibitum] ipsius aeternae generationis Filii, qui Patris veluti imago, et ab illo ut Lumen a Lumine emanans, eidem δμονσος existit, qualiscunque adumbratio. Aut, si mavis, quia Curva nostra mirabilis in ipsa mutatione sempre sibi constantissime manet similis et numero eadem, poterir esse, vel fortitudinis et constantiae in adversitatibus; vel etiam Carnis nostrae post varias alterationes, et tandem ipsam quoque mortem, ejusdem numero resurrecturae symbolum; adeo quidem, ut si Archimedem imitandi hodienum consuetudo obtineret, libenter Spiram hanc tumulo meo juberem incidi cum Epigraphe: Eadem numero mutata resurget.

Del mismo modo que esta espiral maravillosa me produce un placer sublime debido a su propiedad tan singular y tan admirable, apenas soy capaz de quedar satisfecho con su contemplación. He pensado que ésta podría emplearse para representar simbólicamente varias cosas de manera nada inexacta. En efecto, ya que siempre genera una espiral semejante a sí misma y siempre la misma independientemente de que se enrolle, se desenrolle o gire, podría ser por ello el emblema de los hijos en todo semejantes a sus padres: la hija igualísima a la madre. O bien, si no está prohibido aplicar el argumento a los misterios de la fe de la verdad eterna, podría ser la imagen de la propia generación eterna del Hijo que, como imagen del Padre, y que emana de él como la luz de la luz, permanece consubstancial con él, sea cual sea su apariencia. O, si se prefiere, ya que nuestra curva admirable se mantiene en medio del propio cambio siempre exactamente igual a sí misma y en sus mismas proporciones, podría incluso ser la imagen de la fortaleza y firmeza en la adversidad. También lo podría ser de nuestra carne tras sus distintas alteraciones y, finalmente, tras la propia muerte, como símbolo de que ha de resucitar con sus mismos caracteres, hasta el punto de que, si en nuestros días se mantuviese la costumbre de imitar a Arquímedes, de buena gana mandaría que se grabase en mi tumba esta espiral con esta inscripción: resucitará siendo la misma, aunque cambie su aspecto.

Las imágenes de la escalera de Andrade nos dicen que el camino más corto entre dos puntos de un cilindro dista de ser recto. Si los dos puntos están sobre una misma vertical, ésta realiza la distancia entre ambos. Pero en otro caso deberíamos seguir un arco loxodrómico, reducido a un arco de circunferencia cuando los dos puntos se sitúan a la misma altura. La geometría del cilindro es euclidiana –pensemos que por un punto exterior a una de estas líneas geodésicas sólo pasa una paralela–, aunque algunas rectas cilíndricas se curvan. Pero dejemos esta historia para otra ocasión.

Gracias al Museo do Pobo Galego por su amabilidad al autorizarme a fotografiar y a tomar medidas de las dimensiones de la escalera de Domingo de Andrade. Mi más sincero agradecimiento a José Antonio Puentes por su hermosa traducción del fragmento de Bernoulli, enteramente fiel a la letra y al espíritu del texto original.

[1] Actual sede del Museo do Pobo Galego.

[2] Domingo de Andrade (Cee, 1639 – Santiago de Compostela, 1712) es una figura clave en la transición del clasicismo al barroco durante la segunda mitad del siglo XVII en Galicia. Autor polifacético, cuenta con una amplia obra que abarca desde sus inicios como entallador y autor de diversos retablos hasta sus trabajos posteriores como arquitecto, que van de lo religioso a lo civil y militar. Fue nombrado maestro de obras de la catedral compostelana en 1676, momento en el que inicia la construcción de la Torre del Reloj, de inspiración italiana, completada posteriormente en 1700 con el Pórtico Real de la Quintana. En 1695, por encargo del arzobispo Monroy, Andrade reconstruye la fachada de la portería, las celdas y el claustro del antiguo convento de Santo Domingo, añadiendo en un ejercicio de virtuosismo clasicista una triple escalera de caracol en una esquina del claustro. Ese mismo año, publica Excelencias de la arquitectura, un tratado erudito sobre la teoría de la arquitectura. En sus obras de arquitectura civil como la Casa das Pomas y la Casa da Parra o el proyecto inicial de la Casa da Conga, se aprecia también la clara influencia del clasicismo renacentista italiano sobre la obra del arquitecto gallego.

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[3] En el primero de los I Quattro Libri dell’Architettura, Andrea Palladio incluye el dibujo de una escalera abierta de cuatro tramos, encargada por Francisco I de Francia para el castillo de Chambord y diferente de la escalera de dos tramos en torno a una linterna central que hoy conocemos. Ese mismo espíritu está presente en la famosa escalera oval construida por Palladio en el Convento della Carità veneciano.

[4] Por su parte, las curvas que se obtienen suponiendo que v es constante son segmentos de longitud igual a la amplitud del intervalo de definición del parámetro u, comprendido entre un radio mínimo r y un radio máximo R. Se llama paso a la diferencia de altura cuando damos una vuelta completa sustituyendo v por v+2π, véase la figura 1.

[5] Se dice que la hélice es una curva loxodrómica del cilindro.

[6] Un pequeño cálculo permite comprobar que esta proyección, a la que llamaremos π, está definida de la siguiente manera:

π(x,y,z) = (-εx/(z-ε), -εy/(z-ε))

cualquiera que sea el punto (x,y,z) del semiespacio E.

[7] El origen del plano es la imagen del punto del infinito, o si se quiere utilizar otra denominación, el punto de fuga de nuestra particular perspectiva.

[8] Si la proyección π conservase los ángulos, cada hélice circular se proyectaría en una curva plana que formaría un ángulo constante con cualquier circunferencia centrada en el origen. Sabríamos con certeza que se trata de una espiral logarítmica. Pero los ángulos no son conservados y la curva proyectada no es propiamente una espiral logarítmica. Podríamos construir sin demasiada dificultad un mapa del cilindro que conservase los ángulos y nos permitiese sustituir cada hélice por una espiral logarítmica. Por ejemplo, podríamos enviar cada punto (x,y,z) del semicilindro de radio u sobre el punto (xe-z/u,ye-z/u) del disco de radio u privado del origen o usar ideas habituales en la proyección cartográfica. No obstante, nos conformaremos con seguir imaginando que disponemos de una cámara oscura ideal que nos devuelve como imagen una simple espiral.

[9] Jacobi Bernoulli, Linea Cycloidales, Evoluta, Ant-Evoluta, Caustica, Peri-Caustica, Spira Mirabilis. Acta Eruditorum anno MDCXCII, I.207, Lipsiæ, prostant apud Joh. Grossii Haeredes & Joh. Frid. Gleditschium.

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[10] La cámara oscura invierte el sentido de giro de nuestras hélices y espirales, aunque se mantienen las denominaciones habituales. Cada hélice determinada por un valor de u es diestra, lo que significa que avanza en sentido contrario a las agujas del reloj. Su imagen es dextrógira, ya que la distancia al origen aumenta en el sentido de las agujas del reloj. Sin embargo, en las imágenes tomadas con una cámara compacta, las hélices diestras dan lugar a espirales levógiras.

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espirales dextrógiras

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espirales levógiras

                                                                                                                                                             

Una espiral logarítmica dextrógira está dada por la ecuación en coordenadas polares ρ = u eδθ o por las ecuaciones en coordenadas cartesianas
x =   u eδθ cos θ
y = – u eδθ sen θ.

NOTA ADICIONAL: Como ya hemos dicho, la imagen de cualquier hélice circular –como la zanca de la escalera de Andrade– es una espiral, pero no puede ser una espiral logarítmica, ya que su grado varía. Nos da igual obtener la imagen mediante una cámara oscura (usando la proyección π) o mediante una cámara compacta (usando un sistema de proyección cónica). La siguiente gráfica representa el valor del exponente δ cuando hacemos variar la altura z entre 2ε = 8cm y 3000 cm. El tramo rojo corresponde al intervalo comprendido entre una altura mínima de 101,86 cm (que correspondería a un ángulo de visión de 60º) y máxima de 1640 cm, a las que corresponden exponentes δ = 3.1388 y δ = 0,3666 respectivamente. Cuando nos aproximamos al punto de fuga, el exponente tiende a hacerse constante, pero cada vez más pequeño, de manera que el aspecto de la espiral se asemeja cada vez más a una espiral logarítmica, pero su grado tiende a 0, por lo que dicha espiral se asemeja en realidad a una circunferencia, reducida a un punto en el límite.

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Figura 3

Si nos mantenemos en la parte final del tramo rojo de la figura 3, podremos trazar porciones de espiral logarítmica que se ajustan relativamente bien a la imagen de la zanca, como ocurre con espiral azul que contemplábamos antes.

Espiral-Bonaval

 

 


 

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Bonaval by Fernando Alcalde is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 Internacional License.

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