Otra geometría

Volvamos a Bonaval y a su escalera de caracol. Desde lo alto, veremos que la ciudad está poblada por un universo de esferas. Pero, de repente, si miramos más allá del jardín, nos sorprenderá la inusual geometría del remate de la fachada de Santa Clara. Con su aspecto de retablo pétreo, esta obra de Simón Rodríguez es uno de los edificios más singulares del barroco español [1]. De hecho, es una falsa fachada, que no da a acceso a la iglesia de Santa Clara, sino a la portería del convento y a un pequeño jardín tras el que se esconde la verdadera fachada, mucho más sencilla. Es como si el carácter mismo de fachada telón le otorgarse un profundo sentido teatral, un rasgo que proviene en realidad de un audaz, ambicioso y original ejercicio formal en el que los elementos decorativos van ganando complejidad y fuerza plástica a medida que se elevan hasta culminar en un curioso frontón doble rematado por tres insólitos cilindros, que le dan a este singular decorado un insólito aire de modernidad [2].

Como recordábamos en la anterior entrada, la geometría de la superficie de este particular remate es euclidiana, si bien el camino más corto entre dos puntos no es realizado por una recta, sino por un arco de hélice, también llamado loxodrómico, ya que forma un ángulo constante con cualquier circunferencia directriz y cualquier recta generatriz. Pero basta desarrollar la superficie del cilindro a la manera de un mapa para convertir dicha hélice en una verdadera recta y convencernos de que, por un punto exterior a una curva loxodrómica, sólo pasa otra curva loxodrómica paralela.

helicePor el contrario, si pensamos en la esfera, hemos de recorrer un arco de circunferencia máxima para unir dos puntos siguiendo el camino más corto. Pero, por un punto exterior a una de estas líneas geodésicas –y ahora el nombre está claramente justificado–, no pasa ninguna paralela, ya que dos circunferencias de radio máximo siempre se cortan. O como bien sabían los griegos, mucho antes del nacimiento de la geometría riemanniana, la suma de los ángulos de un triángulo esférico es siempre mayor que dos rectos, mientras que la suma de los ángulos de un triángulo cilíndrico es igual a dos rectos.

esfera

Pese a las diferencias entre una esfera y un cilindro, cuando escribimos sus ecuaciones en coordenadas cartesianas,

x2 + y2  + z2 = 1   e   x2 + y2 = 1,

observamos que ambas superficies están definidas por un polinomio de grado 2. Decimos que esferas y cilindros son cuádricas o superficies de segundo orden.  En 1887, un joven Henri Poincaré mostraba  [3] que, más allá de la tercera geometría de Lobatchevski, hay una cuarta geometría [4], aún más insólita que nuestros singulares remates rodeados de esferas.

Hay varias geometrías cuadráticas, ya que hay varios tipos de superficies de segundo orden.

Si la superficie fundamental es un elipsoide, la geometría cuadrática no difiere de la geometría de Riemann.

Si la superficie fundamental es un hiperboloide de dos hojas, la geometría cuadrática no difiere de la de Lobatchevski.

Si esta superficie es un paraboloide elíptico, la geometría cuadrática se reduce a la de Euclides; es un caso límite de los dos casos anteriores.

Está claro que no hemos agotado la lista de las geometrías cuadráticas, pues no hemos considerado ni el hiperboloide de una hoja, ni sus numerosas degeneraciones.

Podemos decir por lo tanto que hay tres geometrías cuadráticas principales, que corresponden a los tres tipos de superficies de segundo orden con centro [5].

Deberemos añadir además las geometrías que corresponden a los casos límite entre las que se sitúa la geometría de Euclides.

¿Cómo es posible que la geometría del hiperboloide de una hoja haya sido ignorada hasta ahora por los teóricos? Es porque implica las siguientes proposiciones:

1º La distancia entre dos puntos situados en una misma generatriz rectilínea de la superficie fundamental es nula.

2º Hay dos tipos de rectas que corresponden, unas a las secciones diametrales elípticas y otras a las secciones diametrales hiperbólicas; es imposible hacer coincidir una recta del primer tipo con una recta del segundo mediante un movimiento real.

3º Es imposible hacer coincidir una recta consigo misma por medio de una rotación real alrededor de uno de sus puntos, tal y como ocurre en la geometría de Euclides cuando se hace girar una recta 180º alrededor de uno de sus puntos.

Todos los geómetras han supuesto implícitamente que estas tres proposiciones son falsas, y en verdad estas tres proposiciones son demasiado contrarias a los usos de nuestro espíritu para que negándolas los fundadores de la geometría hubiesen creído defender una hipótesis y hubiesen soñado enunciarla.

[…]

¿Qué debemos pensar de las premisas de la Geometría? ¿En qué sentido puede decirse, por ejemplo, que el postulatum de Euclides es verdadero?

Según acabamos de ver, la Geometría no es otra cosa que el estudio de un grupo y, en ese sentido, podría decirse que la verdad de la geometría de Euclides no es incompatible con la de la geometría de Lobatchevski, ya que la existencia de un grupo no es incompatible con la de otro grupo.

Entre todos los grupos posibles, hemos elegido un grupo particular para referirnos a los fenómenos físicos, como elegimos tres ejes de coordenadas para situar una figura geométrica.

Ahora, ¿qué es lo que determina esta elección? Primero la simplicidad del grupo elegido. Pero hay otra razón: existen en la naturaleza cuerpos notables, que se llaman sólidos, y la experiencia nos enseña que los diversos movimientos posibles de estos cuerpos están ligados poco más o menos por las mismas relaciones que las diversas operaciones del grupo elegido.

Luego las hipótesis fundamentales de la Geometría no son hechos experimentales, pero, sin embargo, han sido elegidas de entre todas las hipótesis posibles por la observación de ciertos fenómenos físicos.

Por otra parte, el grupo elegido tan sólo es más cómodo que los otros y no se puede decir que la geometría euclidiana sea verdadera y la geometría de Lobatchevski falsa, como no se podría decir que las coordenadas cartesianas sean verdaderas y las coordenadas polares falsas.

No insisto más, pues el fin de este trabajo no es el desarrollo de estas verdades que empiezan a ser banales.

Acababa de nacer la geometría de Lorentz [6]. Observemos que ambos hiperboloides, de una y dos hojas, heredan sus respectivas geometrías del espacio tridimensional dotado la forma cuadrática

 q(u) = q(u1,u2,u3) = u12 + u22 – u32.

En el caso del hiperboloide de dos hojas determinado por la ecuación x2+y2-z2 +1 = 0, la forma cuadrática es definida positiva en restricción al plano tangente a la superficie en cualquier punto, ya que q(u) > 0 para cualquier vector tangente u ≠ 0. Para unir dos puntos de una misma hoja siguiendo el camino más corto, nos basta recorrer la curva que se obtiene al intersecar el plano que contiene a esos dos puntos y al origen. Por el contrario, en cada punto del hiperboloide de una hoja determinado por la ecuación x2+y2-z2-1 = 0, hay dos direcciones tangentes u y u´ que verifican q(u) = q(u´) = 0. De hecho, si tenemos en cuenta que esta ecuación se escribe (x+z)(x-z) = (1+y)(1-y), nos convenceremos de que por ese punto pasan dos rectas reales perpendiculares a sí mismas. Todos los puntos de cada una de esas rectas directrices están a distancia nula unos de otros.

Tras su muerte, Simón Rodríguez se convertirá en uno de los «fatuos delirantes» despreciados por la biempensante Academia y sus herederos. Hay una corriente matemática e histórica interesada desde hace más de un siglo en empequeñecer la figura de Poincaré, pero hoy cualquier matemático o historiador de la ciencia tiene acceso a las obras originales y puede reconocer por sí mismo el alcance de su pensamiento.

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[1] Tras las reformas realizadas a lo largo de los siglos XVI y XVII en el antiguo convento de las monjas clarisas construido en 1260 gracias a la dote de Violante de Aragón, esposa de Alfonso X, el aspecto actual del convento de Santa Clara se debe a la reforma emprendida por Domingo de Andrade a finales del siglo XVII y terminada por Simón Rodríguez entre 1721 y 1726.

Simón Rodríguez (Santiago de Compostela, 1679-1751) es uno de los más importantes arquitectos del barroco español y el máximo representante del estilo de placas. Discípulo probable de Domingo de Andrade, con quien colabora en sus inicios como entallador en la construcción del baldaquino de la catedral compostelana, desarrolla en su obra posterior el interés por la geometrización de la estructura arquitectónica, lo que le otorga una indudable modernidad. Gracias a un particular tratamiento de la piedra, más propio de un entallador o de un escultor que de un arquitecto, y a un singular juego con los volúmenes geométricos, ambos característicos del estilo de placas, sus obras poseen un aspecto casi teatral. Ocurre así con su obra maestra, la fachada del convento de Santa Clara, pero también con el retablo de la Iglesia de la Compañía construido poco después en 1727. Esas mismas características están presentes en la capilla del Santo Cristo de Conxo o en la fachada del Colegio de Ejercitantes. Aunque sigue el proyecto original de Simón Rodríguez en el interior y en el primer cuerpo de la fachada, la iglesia de San Francisco quedaría inacabada por la muerte del arquitecto y la fachada sería modificada de manera sustancial por imposición de la recién creada Academia de Bellas Artes de San Fernando.

[2] Estos dos calificativos se repiten en la obra de estudiosos como Werner  Weisbach y Antonio Bonet Correa, citados por María del Carmen Folgar, o María Dolores Vila Jato para referirse a la obra de Simón Rodríguez. Destaca la visión del historiador alemán Werner Weisbach en su trabajo Spanish Baroque Art: Three Lectures Delivered at the University of London [in January 1939] publicado por la editorial Cambridge University Press en 1941:

El volumen aumenta en la parte superior por medio de una especie de composición cubista que sobresale sobre un frontón triangular: cilindros de piedra y bloques rectangulares de carácter abstruso, únicos en su género.

Véanse también los libros de Antonio Bonet Correa (La arquitectura en Galicia durante el siglo XVII,  Publicaciones del Instituto Padre Sarmiento, CSIC, 1984) y María del Carmen Folgar de la Calle (Simón Rodríguez, Fundación Pedro Barrié de la Maza,1989) y el artículo Simón Rodríguez, el estilo de placas de María Dolores Vila Jato publicado en Artehistoria.

[3] Henri Poincaré, Sur les hypothèses fondamentales de la géométrieBulletin de la Société Mathématique de France, 15 (1887), 203-216.

[4] Tomo prestada esta denominación del propio Poincaré:

La cuarta geometría.— Entre estos axiomas implícitos, hay uno que creo merece algo de atención, porque abandonándolo se puede construir una cuarta geometría tan coherente como las de Euclides, Lobatchevsky y Riemann.

[…]

No citaré más que uno de estos teoremas y no elegiré el más singular: una recta real puede ser perpendicular a sí misma.

[…]

En otros términos, los axiomas de la geometría (no hablo de los de la aritmética) no son más que definiciones disfrazadas. Pero entonces, ¿qué debemos pensar de esta cuestión? ¿La geometría euclidiana es verdadera? Esto no tiene ningún sentido. Lo mismo que preguntar si el sistema métrico es verdadero y las antiguas medidas falsas, si las coordenadas cartesianas son verdaderas y las coordenadas polares falsas. Una geometría no puede ser más verdadera que otra, sólo puede ser más cómoda.

Henri Poincaré, Ciencia e hipótesis,
Flammarion, Paris, 1902

Más teatral diría Simón Rodriguez.

[5] Elipsoides, hiperboloides y paraboloides, éstos últimos con centro en el infinito.

[6] Es el propio Henri Poincaré quien llamará grupo de Lorentz al grupo formado por las «transformaciones de relatividad»  en homenaje a su amigo Hendrik A. Lorentz al demostrar en 1905 que éstas dejan invariantes las ecuaciones del electromagnetismo, y Hendrik A. Lorentz quien contará la historia de primera mano en Deux Mémoires de Henri Poincaré sur la Physique MathématiqueActa Mathematica, 38 (1921), 293-308.

Las  imágenes de las superficies de segundo orden mostradas provienen de la edición francesa de la Wikipedia y han sido realizadas con el programa libre Winplot.

 


 

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Otra geometría by Fernando Alcalde is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 Internacional License.

 

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