To fly where before we walked

 

Creo que enseñar a resolver problemas a niños o jóvenes no consiste en resolver los mismos problemas una y otra vez, dándoles cuerda para que lleguen a donde queremos o invocando una pretendida ciencia infusa inexistente. No hace mucho asistía a una charla sobre didáctica de las matemáticas en educación infantil en la que, a pesar de un cierto aire “problem-solving” a la moda, se explicaba la reacción de niños de cuatro o cinco años al descubrir patrones numéricos por primera vez. El juego y el interés que mostraban los presentes en la charla me hicieron recordar dos frases de William Thurston:

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Generalmente los matemáticos piensan que saben lo que son las matemáticas, pero les resulta difícil dar una buena definición directa. Es interesante intentarlo. Para mí, “la teoría de los patrones formales” sería la más aproximada. [1]

En matemáticas, saber qué es fascinante, desconcertante, interesante, sorprendente, aburrido, tedioso, emocionante es crucial; no es accidental, sino que conforma nuestra manera de pensar. [2]

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Pero aunque curiosamente ambos textos están destinados a matemáticos profesionales, eso no significa que haya que tener una formación académica en matemáticas para compartir la visión de Thurston. La mejor profesora de matemáticas de mi hijo durante su paso por primaria no tenía formación en matemáticas, sino en historia.

Otro texto de Thurston, bien distinto –respuesta a un joven matemático que le preguntaba en el blog MathOverflow en qué podría contribuir al progreso de las matemáticas– explica esa aparente paradoja [3]:

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No son las matemáticas a lo que tienes que contribuir. Es más profundo que eso: ¿cómo podrías contribuir a la humanidad, o más aún al bienestar del mundo dedicándote a las matemáticas? No es posible responder esa pregunta de manera puramente intelectual porque las consecuencias de nuestras acciones van más allá de nuestra comprensión. Somos animales profundamente sociales y profundamente instintivos, por lo que nuestro bienestar depende de muchas cosas que son difíciles de explicar de manera intelectual. Por eso haces bien en seguir tu corazón y tu pasión. Usando sólo la razón es probable que te equivoques. Ninguno de nosotros es lo suficientemente inteligente y sabio para entenderlo intelectualmente.

Las matemáticas aportan claridad y compresión. No teoremas por sí mismos. Por ejemplo, ¿hay alguna razón por la que incluso resultados famosos como el último teorema de Fermat o la conjetura de Poincaré importen realmente? Su verdadera importancia no reside en sus enunciados concretos, sino en el desafío que suponen para nuestro entendimiento, proponiendo retos que conducen a desarrollos matemáticos que aumentan nuestra comprensión.

El mundo no sufre de demasiada claridad y comprensión (por decirlo suavemente). Generalmente es imposible saber si unas matemáticas específicas pueden mejorar el mundo (por lo que sea) y cómo pueden hacerlo, pero las matemáticas son en conjunto extremadamente importantes.

Creo que, por su dependencia de la mente humana, hay una gran componente psicológica en las matemáticas. Deshumanizadas, serían como programas de ordenador, algo muy diferente. A menudo, las ideas matemáticas, incluso las más simples, pasan difícilmente de una mente a otra. Hay muchas ideas que pueden ser difíciles de alcanzar, pero que resultan fáciles una vez que se logra. Por esto, la comprensión matemática no progresa siempre en la misma dirección. Nuestra comprensión también se deteriora con frecuencia. Hay varias razones evidentes de esa decadencia. Los expertos en un tema se jubilan y mueren, o simplemente cambian de temas y se olvidan. Habitualmente las matemáticas se explican y se registran usando formas concretas y simbólicas que son más fáciles de comunicar que las formas conceptuales, que son fáciles de entender una vez comunicadas. La traducción de lo conceptual a lo concreto y simbólico es mucho más fácil que la traducción en sentido inverso, y las formas simbólicas a menudo sustituyen a las formas conceptuales de comprensión. Los textos antiguos pueden ser difíciles de entender a causa de las convenciones y lo que se da por sentado en la evolución del conocimiento.

En resumen, las matemáticas sólo existen en una comunidad de matemáticos que divulguen el conocimiento e insuflen vida a ideas antiguas y nuevas. La verdadera satisfacción que aportan las matemáticas es aprender de otros y compartir con otros. Cada uno de nosotros comprende con claridad unas pocas cosas, pero tiene una visión confusa de otras muchas. Nunca nos faltarán ideas que necesiten ser aclaradas. La cuestión de quién ha sido el primero en dejar huella en un metro cuadrado de terreno es secundario. Los cambios revolucionarios son importantes, pero escasos, y no se producen solos: dependen muy mucho de la comunidad de matemáticos.

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Quien dice esto es uno de los matemáticos más importantes del siglo XX con una obra que ha transformado la comprensión de las variedades foliadas y de las variedades tridimensionales y que le ha valido entre otros premios la Medalla Fields 1982. Así se definía a sí mismo en el blog que he citado antes [4]:

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Soy profesor en Cornell. Antes he estado en Princeton, Berkeley, MSRI y UC Davis. Las matemáticas son un proceso donde hay que lograr la mayor claridad mirando con suficiente atención y perseverancia a través de una niebla de desorden y confusión. Me alegra poder admitir, al menos ante mí mismo, que mi pensamiento es confuso e intentar superar la vergüenza que podría causarme mi propia ignorancia o confusión. Con los años, esto me ha ayudado a desarrollar con claridad algunas cosas, pero me siguen pareciendo confusas otras muchas. Disfruto con las preguntas que parecen honestas, aun cuando admitan o revelen confusión, mejor que aquellas que parecen diseñadas para sofisticados proyectos. 

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Tras su muerte hace dos años, el Departamento de Matemáticas de Cornell reunió en una página de homenaje una serie de textos –incluyendo extractos de los que acabo de citar– que nos recuerdan a William Thurston a través de sus propias palabras. Entresaco uno que me parece igualmente esclarecedor [5]:

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Muchas personas tienen la impresión de que las matemáticas son un asunto austero y formal relacionado con reglas complicadas y al final confusas para la manipulación de números, símbolos y ecuaciones, algo así como la preparación de una complicada declaración de la renta. Las buenas matemáticas difieren bastante de esto. Las matemáticas son un arte de la comprensión humana. […] Nuestros cerebros son dispositivos complicados, con muchos módulos especializados trabajando entre bastidores para darnos una comprensión integral del mundo. Los conceptos matemáticos son abstractos, lo que determina que haya muchas maneras diferentes de que se asienten en nuestros cerebros. Un concepto matemático podría ser una ecuación simbólica, una imagen, un patrón rítmico, una película corta o, mejor aún, la combinación en un todo de varias representaciones diferentes.

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Pero quizás me quede con un texto que resume en una frase la pasión de Thurston por las matemáticas [6]:

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Los objetivos estéticos y los objetivos prácticos de las matemáticas resultan estar, al final, bastante cerca. Nuestros instintos estéticos nos acercan a matemáticas de una cierta profundidad que enganchan. La profundidad y la belleza de los patrones los hace propensos a manifestarse de manera inesperada en otras partes de las matemáticas, la ciencia y el mundo. Compartir la alegría y la experiencia intelectual de las matemáticas –volar donde antes caminábamos– es el objetivo de la educación matemática.

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William Thurston (30 de octubre de 1946 – 21 de agosto de 2012)

[1] On proof and progress in mathematics, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 30 (1994), 161–177

[2] Prólogo del libro Teichmuller theory and applications to geometry, topology, and dynamics, Volume 1: Teichmuller theory, de John Hubbard)

[3] MathOverflow “MathOverflow “What’s a mathematician to do?”.

[4] MathOverflow “About me”.

[5] Prólogo del libro Crocheting adventures with hyperbolic planes de Daina Taimina.

[6] Mathematical Education, Notices of the AMS, 37 (7) (1990), 844–850.

 


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